LeanDojo：开源LLM的定理证明器

大语言模型，可以用来证明数学定理了！

「数学天才」陶哲轩曾在一篇博客中称，2026年，AI将与搜索和符号数学工具相结合，成为数学研究中值得信赖的合著者。

这个预言，如今已经成真！

加州理工、英伟达、MIT等机构的学者，构建了一个基于开源LLM的定理证明器。

而这篇论文，或许将改变数学的未来。

项目地址：https://leandojo.org/

在此，研究人员提出一个开源平台LeanDojo，提供工具包、基准和模型，为LLM创造了一种定理证明的交互式环境。

数学：首个见证AI重大突破的领域

论文一作杨凯峪表示，公式证明是计算机程序，其正确性可以被验证。

最重要的是，这项研究为解决LLM，在事实性和幻觉方面的缺陷开辟了一条新途径。

因为，定理证明是一种具有严格评价的代码生成形式，根本没有让模型产生幻觉的空间。

英伟达首席科学家Jim Fan激动转发称：见证人工智能实现重大突破的第一个学科，很可能就是数学！

他说：每个人都该读一读数学家陶哲轩的博客。在此博客中，陶预测在2026年，AI将与搜索和符号数学工具相结合，成为数学研究中值得信赖的合著者。

为什么AI的第一个重大突破会在数学？理由如下——
- 数学可以方便地表示为编码问题
- 可以通过Lean这样的定理证明器进行严格的验证，而不是依赖经验结果
- 不需要像生物学和医学这样的物理实验，机器人技术的发展还有待进步

GPT擅长编码，Lean是公式数学的编码语言，还不会出现幻觉。

人工智能数学co-pilots来了。发现新定理的全自动人工智能数学家就是下一个！

有网友称，所以陶哲轩可以被解雇，很容易被取代，不是吗？

LeanDojo究竟有多强？

LeanDojo：定理证明交互式环境

机器学习，特别是大型语言模型，在使用证明助手Lean证明公式定理方面显示出广阔的前景。

LeanDojo其主要特点包括：

- 提供了用于数据提取和与Lean交互的工具

- 证明中的前提（现有定理）的细粒度标注：使用和定义这些前提的位置

- LeanDojo Benchmark：97000个人工编写的定理/证明，用于开发定理证明的机器学习模型

- ReProver（检索增强证明器）：第一个基于LLM的证明器，专门增强了前提选择（Premise Selection）的检索

Lean是一个在数学家中非常受欢迎的证明助手工具。

研究团队针对Lean进行了加工和改进，开发出了LeanDojo。它可以从Lean中提炼出人类撰写的证明过程，形成一个数据集。

从而可以通过与Lean的证明环境互动，使得这个训练出来的模型可以用来证明定理。

LeanDojo的工作流程和原理大致如下图所示：

顶部右边：LeanDojo从Lean中提取证明到数据库中，用来训练机器学习模型。

这个流程也可以通过和Lean的证明环境进行交互后让训练好的模型来证明定理。

顶部左边：这是Lean定理的证明树。在这里gcd是最大公约数的意思。

在证明定理时，我们从原始定理作为初始状态（根）开始，并重复应用策略（边）将状态分解为更简单的子状态，直到所有状态都得到解决（叶节点处）。

策略可能依赖于大型数学库中定义的诸如 mod\_self 和 gcd\_zero_left 之类的前提。

例如，mod_self 是证明中用于简化目标的现有定理：

底部：只要给定一个状态，Reprover模型就能从数学库中检索前提，这些前提与状态连接起来，输入到一个作为编码器和解码器的Transformer中以生成下一个策略。

Benchmarks 基准测试

- LeanDojo Benchmark：从mathlib中提取的96,962个定理/证明、212,787个策略和128,163个前提。

- LeanDojo Benchmark 4：从mathlib4中提取的91,766个定理/证明和177,349个策略。前提信息将很快提供。

LeanDojo可以从Lean中的任何GitHub存储库中提取数据（支持Lean 3和Lean 4）。

这些数据包含原始Lean代码中不直接可见的丰富信息，包括文件依赖项、抽象语法树 (AST)、证明状态、策略和前提。

主要特征 1：前提信息

LeanDojo Benchmark包含前提的细粒度标注（在证明中使用它们以及在库中定义它们），为前提选择（定理证明中的关键瓶颈）提供有价值的数据。

主要特征 2：具有挑战性的数据分割

将定理随机分割到训练/测试中会导致高估模型性能。大语言模型可以通过在训练期间记住类似定理的证明，就可以证明看似困难的定理。

研究人员通过设计具有挑战性的数据分割来缓解这个问题，要求模型基于从未在训练中使用的创新性前提来泛化到定理。

与Lean产生交互

如上图所示，LeanDojo将Lean变成了一个类似体育馆的环境，数学家可以在其中观察证明状态，运行策略来改变状态，并接收有关错误或证明完成的反馈。

这样的一个环境对于评估/部署证明器或通过强化学习进行训练是必不可少的。

实验评估

研究人员使用LeanDojo Benchmark来训练和评估ReProver。

下图展示了10分钟内证明的定理的百分比。每一列代表不同的数据分割。

ReProver的性能优于Lean内置的证明自动化策略（tidy），提供了一个无需检索即可直接生成策略的测试基准。

研究人员采用的另一个基准是使用GPT-4以零样本方式生成策略。

发现新证明&发现公式错误

研究人员采用在miniF2F和FroofNet中的定理来评估ReProver。

他们发现miniF2F中有33个证明，ProffNet中有39个证明在Lean中是不存在的。

与此同时，最新研究还发现了ProofNet定理陈述公式中的多个错误。

详见：https://github.com/zhangir-azerbayev/ProofNet/pull/14

ChatGPT插件

研究人员还构建了一个LeanDojo的ChatGPT插件，使ChatGPT能够通过与Lean交互来证明定理。

他们具体在三种数学公式上进行了尝试，包括a+b+c=a+c+b，斯特林公式（Stirling's formula），以及高斯求和公式（Gauss' summation formula）。

结果发现，专业的定力证明LLM（ReProver）相比，ChatGPT可以将非正式数学与正式证明步骤交叉在一起，类似人类与证明助手的交互方式。

它甚至可以解释Lean的错误信息，并且比专业证明器更容易控制（通过提示工程）。

然而，由于搜索和规划方面的弱点，它在多数情况下很难找到正确的证明。

具体演示如下：

a+b+c=a+c+b

斯特林公式（Stirling’s formula）

高斯求和公式（Gauss' summation formula）

GitHub上，开发者给出使用演示方法示例：

插件安装成功后，你可以让ChatGPT证明定理，只需告诉它定理的名称和定义。比如：
I want you to prove a theorem in Lean. The theorem's name is hello_world, and it is defined in the file src/example.lean in https://github.com/yangky11/lean-example. Please explain the theorem to me, lay out a high-level proof plan, and then try various tactics to prove the theorem.

初始化证明搜索可能需要一些时间。

你可以用提示来控制ChatGPT的行为。例如，在尝试任何测术之前，你可以要求它「产生一个高级证明计划」。

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